Question

3．在某校歌詠比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從A、B、C、D四首不同曲目中任選一首
（1）求甲、乙兩班選擇不同曲目的概率
（2）設(shè)這四個(gè)班級(jí)總共選取了X首曲目，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙兩班選擇不同曲目包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲、乙兩班選擇不同曲目的概率；
（2）由已知X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）甲班、乙班、丙班、丁班均可從A、B、C、D四首不同曲目中任選一首，
∴甲、乙兩班選擇不同曲目的概率P=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）∵這四個(gè)班級(jí)總共選取了X首曲目，∴X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{4}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$=$\frac{21}{64}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{4}^{4}}$=$\frac{9}{16}$，
p（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{32}$．
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{21}{64}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{32}$

E（X）=1×$\frac{1}{64}$+2×$\frac{21}{64}$+3×$\frac{9}{16}$+4×$\frac{3}{32}$=$\frac{175}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查古典概型概率的求法，是中檔題．