Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．若對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），轉(zhuǎn)化當(dāng)m≥0時(shí)，只需$0≥-\frac{1}{2}m+2$，當(dāng)m＜0時(shí)，0≥-2m+2，求解即可．

解答 解：$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}=\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}=1-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由x₁∈[0，π]，得f（x₁）∈[0，2]．
又x₂∈[0，π]，
當(dāng)m≥0時(shí)，$g（{x_2}）∈[-2m+2，-\frac{1}{2}m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需$0≥-\frac{1}{2}m+2$，解得m≥4．
當(dāng)m＜0時(shí)，$g（{x_2}）∈[-\frac{1}{2}m+2，-2m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需0≥-2m+2，矛盾．
綜上m的取值范圍是m≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的最值的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．