Question

已知函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

1

2

，其中

a

=（

3

sinx-cosx，-1），

b

=（cosx，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由平面向量的數(shù)量積的坐標公式及二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)式，即可得到最大值和周期；
（Ⅱ）運用正弦定理和余弦定理，列出方程，即可求出三角形的面積．

解答： 解：（ I）f（x）=

a

•

b

+

1

2

=（

3

sinx-cosx，-1）•（cosx，1）+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1．
由于x∈R，則sin（2x-

π

6

）取得最大值1，周期T=

2π

2

=π，
則f（x）的最大值為0；最小正周期為π；
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，解得C=

π

3

，
又∵sin（A+C）=sinB=2sinA，由正弦定理得，

a

b

=

1

2

---------------①，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9-------------②
由①②解得：a=

3

，b=2

3

．
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×2

3

×

3

2

=

3 3

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查三角函數(shù)的最值和周期，考查正弦定理和余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．