Question

如圖，已知△ABC中∠B=30°，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB與平面ABC所成角為45°，AH⊥PC，垂足為H．求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：過點C作CD⊥AB于點D，作DE⊥PB于E，連結CE，則CE⊥PB．由已知得∠DEC為二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答： 解：過點C作CD⊥AB于點D，
∵PA⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥PA．∴CD⊥平面PAB．
作DE⊥PB于E，連結CE，則CE⊥PB．
∴∠DEC為二面角A-PB-C的平面角．
設AC=m，由PC⊥BC，PA⊥平面ABC得∠ACB=90°．又∠ABC=30°，
知BC=

3

，
∴CD=BCsin30°=

3

2

，AB=

AC2+BC2

=2．
由PA⊥平面ABC，知∠PBA為PB與平面ABC所成的角．
∴∠PBA=45°．∴PA=BA=2m．
在Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

(2m)2+m2

=

5

m，
在Rt△PBC中，PB=

PA2+BC2

=

5m2+3m2

=2

2

m，
∵

1

2

PB•EC=

1

2

PC•BC，
∴EC=

PC•BC

PB

=

5 m• 3 m

2 2 m

=

15

2 2

m．
在Rt△ECD中，sin∠CED=

3

2

×

2 2

15

=

10

5

，
即二面角A-PB-C的正弦值為

10

5

．

點評：此題作二面角的平面角的方法是：過二面角的面PBC內的點C向二面角的另一個面PAB作垂線CD，垂足為D，然后由D向二面角的棱PB作垂線，垂足為E，連結CE，由三垂線定理知CE⊥PB，從而∠DEC為二面角的平面角．此種作二面角的方法稱為“垂線法”．“垂線法”是作二面角的平面角的常用方法，應當重視這種方法．此題也可過A作AG⊥PC于G（易證AG⊥平面PBC），利用AG作二面角A-PB-C的平面角．