Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AB=1，AA₁=2，線段B₁D₁上有兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）證明：AC⊥B₁D₁；
（2）證明：EF∥平面ABCD；
（3）若E，F(xiàn)是線段B₁D₁上的點(diǎn)，且EF=

1

2

，求三棱錐A-BEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AC⊥平面BDD₁B₁，即可證明AC⊥B₁D₁；
（2）根據(jù)平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，即可證明EF∥平面ABCD；
（3）證明AO⊥平面BEF，即可求三棱錐A-BEF的體積．

解答： （1）證明：在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接BD，
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形
所以AC⊥BD…（1分）
又DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD₁⊥AC…（3分）
又BD∩DD₁=D，
所以AC⊥平面BDD₁B₁，
又B₁D₁?平面BDD₁B₁，
所以AC⊥B₁D₁；…（5分）
（2）證明：在ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
因?yàn)镋F?平面A₁B₁C₁D₁，
所以EF∥平面ABCD；…（10分）
（3）解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，由（1）可知AO⊥平面BDD₁B₁，
即AO⊥平面BEF
所以AO是三棱錐A-BEF的高，且AO=

1

2

AC=

2

2

…（12分）
所以V_A-BEF=

1

3

×

2

2

×

1

2

×

1

2

×2=

2

12

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．