Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為．證明：

（i）；

（ii）對(duì)一切成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）兩個(gè)；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）分別在、和三段區(qū)間內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）（i）根據(jù)（Ⅰ）中結(jié)論可知，，化簡為，根據(jù)單調(diào)性可證得結(jié)論；

（ii）由（i）的方法可證得，分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下，采取分組求和的方式，相鄰兩項(xiàng)配對(duì)，即可證得結(jié)論.

（Ⅰ），

當(dāng)時(shí)，，，，無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，

又，，有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，

又，，有唯一零點(diǎn)；

綜上所述：在有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在無極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為，在有極大值點(diǎn)即為，

又，，，，

可知，，

同理在有極小值點(diǎn)，…，在有極值點(diǎn)．

由得：，，

，，，

而，，故有，

在是增函數(shù)，，

即；

（ii）由（i）知：，，

，

由在遞增得：，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，從開始相鄰兩項(xiàng)配對(duì)，每組和均為負(fù)值，

即，結(jié)論成立；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，

，，

從開始相鄰兩項(xiàng)配對(duì)，每組和均為負(fù)值，還多出最后一項(xiàng)也是負(fù)值，

即，結(jié)論也成立．

綜上，對(duì)一切，成立．