【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為．證明：

（i）；

（ii）對一切成立．

【答案】（Ⅰ）兩個；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）分別在、和三段區(qū)間內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個數(shù)；

（Ⅱ）（i）根據(jù)（Ⅰ）中結(jié)論可知，，化簡為，根據(jù)單調(diào)性可證得結(jié)論；

（ii）由（i）的方法可證得，分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下，采取分組求和的方式，相鄰兩項(xiàng)配對，即可證得結(jié)論.

（Ⅰ），

當(dāng)時，，，，無零點(diǎn)；

當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，

又，，有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時，，，

又，，有唯一零點(diǎn)；

綜上所述：在有兩個零點(diǎn)．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在無極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為，在有極大值點(diǎn)即為，

又，，，，

可知，，

同理在有極小值點(diǎn)，…，在有極值點(diǎn)．

由得：，，

，，，

而，，故有，

在是增函數(shù)，，

即；

（ii）由（i）知：，，

，

由在遞增得：，

當(dāng)為偶數(shù)時，不妨設(shè)，從開始相鄰兩項(xiàng)配對，每組和均為負(fù)值，

即，結(jié)論成立；

當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，

，，

從開始相鄰兩項(xiàng)配對，每組和均為負(fù)值，還多出最后一項(xiàng)也是負(fù)值，

即，結(jié)論也成立．

綜上，對一切，成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為,觀影人數(shù)記為,其函數(shù)圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期,相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案,圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象.

給出下列四種說法:

①圖（2）對應(yīng)的方案是:提高票價,并提高成本;

②圖（2）對應(yīng)的方案是:保持票價不變,并降低成本;

③圖（3）對應(yīng)的方案是:提高票價,并保持成本不變;

④圖（3）對應(yīng)的方案是:提高票價,并降低成本.

其中,正確的說法是____________.（填寫所有正確說法的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）對任意，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中錯誤的是（ ）

A. 命題“若，則”的逆否命題是真命題

B. 命題“”的否定是“”

C. 若為真命題，則為真命題

D. 已知，則“”是“”的必要不充分條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是：

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程：

（Ⅱ）點(diǎn)P是曲線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)使用某品牌暖水瓶，其內(nèi)膽規(guī)格如圖所示．若水瓶內(nèi)膽壁厚不計，且內(nèi)膽如圖分為①②③④四個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體．若其中圓臺部分的體積為，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時水溢出．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，

（1）求；

（2）該同學(xué)發(fā)現(xiàn)：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同．為了研究保溫效果最好時暖水瓶的盛水體積，做以下實(shí)驗(yàn)：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內(nèi)不同體積水在不同時刻的水溫，發(fā)現(xiàn)水溫（單位：℃）與時刻滿足線性回歸方程，通過計算得到下表：

倒出體積

0

30

60

90

120

擬合結(jié)果

倒出體積

150

180

210

…

450

擬合結(jié)果

…

注：表中倒出體積（單位：）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積．其中：

令．對于數(shù)據(jù)，可求得回歸直線為，對于數(shù)據(jù)，可求得回歸直線為．

（ⅰ）指出的實(shí)際意義，并求出回歸直線的方程（參考數(shù)據(jù)：）；

（ⅱ）若與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時（盛水體積保留整數(shù)，且取3.14）保溫效果最佳？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（ ）（注：）

A.1624B.1024C.1198D.1560

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