Question

設函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的極大值；

（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍；

（3）設，當時，求函數(shù)的單調減區(qū)間．

 

Answer 1

（1）5；（2）；（3）①當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為；

②當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為,；

③當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為,, ．

【解析】

試題分析：（1）當時，函數(shù)是一個具體的三次函數(shù)，只須求出的導函數(shù)，并令它為零求得其根；然后列出的取值范圍與的符號及單調性的變化情況表，由此表可求得函數(shù)的極大值；（2）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，等價于方程即有三個不同的實數(shù)根，也等價于方程有三個不同的實數(shù)根，從而可轉化為直線與函數(shù)有三個不同的交點，畫草圖可知必須且只需：，所以利用導數(shù)求出函數(shù)的極小值和極大值即可；（3）注意到函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間的關系：將函數(shù)在x軸上方的圖象不變，而將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方即得函數(shù)的圖象，由此可知要求函數(shù)的單調減區(qū)間，只須先求出函數(shù)的單調區(qū)間，并求出的所有零點，結合圖象就可寫出函數(shù)的單調減區(qū)間；注意分類討論．

試題解析：（1）當時，由=0，得或， 2分

列表如下：

		－1		3
	＋	0	－	0	＋
	遞增	極大	遞減	極小	遞增

 

所以當時，函數(shù)取得極大值為5. 4分

（2）由，得，即， 6分

令，則，

列表，得

				1
	－	0	＋	0	－
	遞減	極小值	遞增	極大值2	遞減

8分

由題意知，方程有三個不同的根，故的取值范圍是. 10分

（3）因為，

所以當時，在R上單調遞增；

當時，的兩根為，且，

所以此時在上遞增，在上遞減，在上遞增； 12分

令，得，或 （*），

當時，方程（*）無實根或有相等實根；當時，方程（*）有兩根， 13分

從而

①當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為； 14分

②當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為,； 15分

③當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為,, ． 16分

考點：１．函數(shù)的極值；2．函數(shù)圖象、方程的根及函數(shù)的零點；3．函數(shù)的單調性．