已知函數(shù).
(1)若,求證:當(dāng)
時(shí),
;
(2)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,試求
的取值范圍;
(3)求證:.
(1) 詳見解析;(2) 的取值范圍
;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1) 當(dāng)時(shí),求證:當(dāng)
時(shí),
,將
代入
,得
,注意到
,只要證明當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增,則
,由于
中含有指數(shù)函數(shù),可對(duì)
求導(dǎo)得
,只需證明當(dāng)
時(shí),
即可,注意到
,只要證明當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增即可,因此令
,對(duì)
求導(dǎo)得
,顯然當(dāng)
時(shí),
,問題得證;(2) 求實(shí)數(shù)
的取值范圍,由于
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則當(dāng)
時(shí),
,故對(duì)
求導(dǎo)得
,即當(dāng)
時(shí),
恒成立,即
)恒成立,只需求出
的最小值即可,令
,對(duì)
求導(dǎo)得
,令導(dǎo)數(shù)等于零,解出
的值,從而的最小值,進(jìn)而得實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)求證:,由(1) 知:當(dāng)
時(shí),
,即
,可得
,兩邊取對(duì)數(shù)得
,令
,得
,再令
,得
個(gè)式子相加,然后利用放縮法可證得結(jié)論.
試題解析:(1) ,則h(x)=
,∴h′(x)=ex-1>0(x>0),
∴h(x)=f′(x)在(0,+∞)上遞增,∴f′(x)>f′(0)=1>0,
∴f(x)=ex-x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)>f(0)=1.( 4分)
(2) f′(x)=ex-2kx,下面求使 (x>0)恒成立的k的取值范圍.
若k≤0,顯然f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;
記φ(x)=ex-2kx,則φ′(x)=ex-2k,
當(dāng)0<k<時(shí),∵ex>e0=1, 2k<1,∴φ′ (x)>0,則φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
于是f′(x)=φ(x)>φ(0)=1>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)k≥時(shí),φ(x)=ex-2kx在(0,ln 2k)上單調(diào)遞減,在(ln 2k,+∞)上單調(diào)遞增,
于是f′(x)=φ(x)≥φ(ln 2k)=eln 2k-2kln 2k,
由eln 2k-2kln 2k≥0得2k-2kln 2k≥0,則≤k≤
,
綜上,k的取值范圍為(-∞,]. 9分
另解:(2) ,下面求使
(x>0)恒成立的k的取值范圍.
)恒成立。記
在
上單調(diào)遞減,在
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義在R上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件:
①在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù);
②是偶函數(shù);
③在x=0處的切線與直線y=x+2垂直.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=,若存在實(shí)數(shù)x∈[1,e],使g(x)<
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln x+2x-6.
(1)證明:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(2)求該零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間,使這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不超過
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)對(duì)一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù), 在
處取得極小值2.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)設(shè)函數(shù), 若對(duì)于任意
,總存在
, 使得
, 求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù);
(Ⅰ)求證:函數(shù)在
上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)設(shè),若直線PQ∥x軸,求P,Q兩點(diǎn)間的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在
和
處的切線互相平行,求
的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)任意
,均存在
,使得
,求
的取值范圍.
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