Question

12．設函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（1）當a=0時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使g（x）=x²-f（x），x∈（0，e]的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=0代入函數(shù)解析式，求其導函數(shù)，得到f′（1）=3，即函數(shù)切線的斜率可求，再求出f（1）的值，由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，由f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立中轉(zhuǎn)化為a小于等于$2x+\frac{1}{x}$的最小值得答案；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）=x²-f（x）=ax-lnx的導函數(shù)，然后分a≤0、0＜a$≤\frac{1}{e}$、a$＞\frac{1}{e}$三種情況求解a的值得答案．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x²+lnx，${f}^{′}（x）=2x+\frac{1}{x}$，f′（1）=3，
∴切線的斜率為3，
又f（1）=1，∴切點為（1，1），
故所求的切線方程為：y-1=3（x-1），即3x-y-2=0；
（Ⅱ）${f}^{′}（x）=2x+\frac{1}{x}-a$，由題意知：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即：a$≤（2x+\frac{1}{x}）_{min}$，
∵x＞0，∴2x+$\frac{1}{x}≥2\sqrt{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時等號成立，
故$（2x+\frac{1}{x}）_{min}=2\sqrt{2}$，
∴$a≤2\sqrt{2}$；
（Ⅲ）假設存在實數(shù)a，使g（x）=x²-f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）的最小值為3．
${g}^{′}（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，此時g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴$a=\frac{4}{e}＞0$不滿足條件，舍去；
②當0＜a$≤\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{a}≥e$，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，此時g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴$a=\frac{4}{e}$不滿足條件，舍去；
③當a$＞\frac{1}{e}$時，0＜$\frac{1}{a}＜e$，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
此時$g（x）_{min}=g（\frac{1}{a}）$=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件．
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得x∈（0，e]的最小值為3．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法，是壓軸題．