Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（{x}^{2}-2ax）{e}^{x}，}&{x＞0}\\{bx，}&{x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=clnx+b，且x=$\sqrt{2}$是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，直線l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線．
（1）求實(shí)數(shù)a的值和直線l的方程．
（2）若直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x＞0的f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得f′（$\sqrt{2}$）=0，解得a=1，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）在切點(diǎn)處的切線的斜率和切線方程，由兩直線重合的條件可得b的解析式，記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，極值、最值，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax）e^x，
f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′（$\sqrt{2}$）=0，即有[2+2$\sqrt{2}$（1-a）-2a]${e}^{\sqrt{2}}$=0，
即 2+2$\sqrt{2}$（1-a）-2a=0，得a=1，
所以x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，
f′（x）=（x²-2）e^x，
即f（2）=0，f′（2）=2e²，
則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²x-4e²；
（2）由于直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，
即y₀=clnx₀+b，g′（x）=$\frac{c}{x}$
所以切線l的斜率為g′（x₀）=$\frac{c}{{x}_{0}}$，
所以切線l的方程為y-y₀=$\frac{c}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即l的方程為：y=$\frac{c}{{x}_{0}}$x-c+b+clnx₀，
于是可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{{x}_{0}}=2{e}^{2}}\\{-c+b+cln{x}_{0}=-4{e}^{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{c=2{e}^{2}{x}_{0}}\\{b=c-cln{x}_{0}-4{e}^{2}}\end{array}\right.$，
所以b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，
h′（x₀）=2e²（1-（lnx₀+1））=-2e²lnx₀，
令h′（x₀）=0，得x₀=1，
當(dāng)x∈[e^-1，1）時(shí)，h′（x₀）＞0，h（x₀）遞增，
當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，h′（x₀）＜0，h（x₀）遞減．
即有x₀=1處b取得極大值，也為最大值，且為-2e²，
當(dāng)x₀=e^-1時(shí)，b=4e-4e²，當(dāng)x₀=e時(shí)，b=-4e²，
即有b的最小值為-4e²，
則b的取值范圍是[-4e²，-2e²]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線方程的運(yùn)用，正確求導(dǎo)和構(gòu)造函數(shù)以及運(yùn)用直線重合的條件是解題的關(guān)鍵．