Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=AC=AA₁．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（2）若D為B₁C₁的中點，求異面直線AD與A₁B所成的角的大小．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）由題意所給的條件，結合線面垂直的判定定理可得結論；（2）設AB₁∩BA₁=O，取線段B₁D的中點M，連結OM，可得直線OM與A₁B所成角即為直線AD與A₁B所成的角，設AB=AC=AA₁=a，在△OMA₁中，由余弦定理和反三角函數可得．

解答： 解：（1）由題意知四邊形AA₁B₁B是正方形，∴AB₁⊥BA₁，
由AA₁⊥平面A₁B₁C₁得AA₁⊥A₁C₁．又A₁C₁⊥A₁B₁，得AA₁∩A₁B₁，=A₁，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AB₁，
又A₁C₁∩BA₁=A₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁
（2）設AB₁∩BA₁=O，取線段B₁D的中點M，連結OM，
∵OM∥AD，∴直線OM與A₁B所成角即為直線AD與A₁B所成的角，
設AB=AC=AA₁=a，在△OMA₁中，OM=

1

2

AD=

6

4

a，OA₁=

2

2

a，A₁M=

10

4

a，
由余弦定理可得cos∠A₁OM=

OM2+OA12-A1M2

2OM•OA1

=

3

6

∴∠A₁OM=arccos

3

6

，即異面直線AD與A₁B所成角的大小為：arccos

3

6

點評：本題考查異面直所成的角，涉及余弦定理的應用和線面垂直的判定，屬中檔題．