Question

已知圓C₁：x²+y²-4x+3=0，圓C₂：x²+y²-8y+15=0，動點P到圓C₁，C₂上點的距離的最小值相等．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）直線l：mx-（m²+1）y=4m，m∈R，是否存在m值使直線l被圓C₁所截得的弦長為

6

3

，若存在，求出m值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）因為動點P到圓C₁，C₂上的點距離最小值相等，所以|PC₁|=|PC₂|，列出方程，化簡可得點P的軌跡方程；
（2）確定直線斜率的范圍，利用直線l被圓C₁所截得的弦長為

6

3

，求出直線的斜率，比較可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），圓C₁的圓心C₁坐標(biāo)為（2，0），半徑為1；圓C₂的圓心C₂坐標(biāo)為（0，4），半徑為1；…2分
因為動點P到圓C₁，C₂上的點距離最小值相等，所以|PC₁|=|PC₂|…4分
即

(x-2)2+y2

=

x2+(y-4)2

，化簡得x-2y+3=0．
因此點P的軌跡方程是x-2y+3=0．…6分
（2）直線l的方程可化為y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，直線l的斜率k=

m

m2+1

因為|m|≤

1

2

(m2+1)，所以|k|=

|m|

m2+1

≤

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時等號成立．
所以，k2≤

1

4

…8分
所以l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

．
圓心C₁到直線l的距離d=

|2k|

k2+1

…10分
故設(shè)直線被圓C₁所截得的弦長為a，由(

a

2

)2=r2-d2知
當(dāng)a=

6

3

時有(

|2k|

k2+1

)2=1-(

6

6

)2…12分
解得k2=

5

19

＞

1

4

…13分
所以不存在m值使直線被圓C₁所截得的弦長為

6

3

，…14分

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．