Question

若實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²≤1，則關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，可得滿足a²+b²≤1的點(diǎn)（a，b）在單位圓及其內(nèi)部；若關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)（a，b）滿足a+b≤1，即在單位圓內(nèi)且直線a+b=1的下方．由此結(jié)合幾何概型計(jì)算公式，用圖中黃色陰影部分的面積除以單位圓的面積，即可得到所求的概率．

解答： 解：以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，
∵實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²≤1，
∴可得所有的點(diǎn)（a，b）在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，即單位圓及其內(nèi)部，如圖所示，面積為S=π×1²=π
若關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根，則滿足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1
符合上式的點(diǎn)（a，b）在圓內(nèi)且在直線a+b=1的下方，其面積為

3

4

π•12+

1

2

•1•1=

3

4

π+

1

2

，
∴關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根的概率是

3 4 π+ 1 2

π

=

3π+2

4π

．
故答案為：

3π+2

4π

．

點(diǎn)評：本題幾何概型計(jì)算公式，考查了弓形面積計(jì)算公式、一元二次方程根的判別式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．