Question

（2014•貴州模擬）函數(shù)f（x）=x2（0＜x＜1）的圖象如圖所示，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與x軸和直線x=1分別交與點P、Q，點N（1，0），若△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，則S的取值范圍為（ ）

A.[，） B.（，] C.（，） D.[，）

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：設(shè)M（t，t2），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在M點處的切線方程，求出P，Q點的坐標(biāo)，由三角形的面積公式求出△PQN的面積，由面積等于S整理，得到t3﹣4t2+4t=4S，令g（t）=t3﹣4t2+4t，由導(dǎo)數(shù)求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，從而得到△PQN的面積為S時點M恰好有兩個時的4S的范圍，則S的范圍可求．

【解析】
設(shè)點M（t，t2），

由f（x）=x2（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，

∴過點M的切線PQ的斜率k=2t．

∴切線PQ的方程為y=2tx﹣t2．

取y=0，得，

取x=1，得y=2t﹣t2，

∴P（）、Q（1，2t﹣t2），

∴=S．

整理得：t3﹣4t2+4t﹣4S=0．

即t3﹣4t2+4t=4S．

令g（t）=t3﹣4t2+4t，

則g′（t）=3t2﹣8t+4，

由g′（t）=0，解得，t2=2（舍）．

∴當(dāng)t∈時，g′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)．

當(dāng)t∈時，g′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)．

∴當(dāng)t=時，g（t）有極大值，也就是（0，1）上的最大值為．

又g（0）=0，g（1）=1．

∴要使△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，

則，即．

∴S的取值范圍為．

故選：C．