Question

9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁作圓${x^2}+{y^2}=\frac{{{{（a-b）}^2}}}{4}$的切線，切點為P，切線與橢圓交于點Q，若$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，可得切點P是線段QF₁的中點，又|F₁O|=|OF₂|，利用三角形中位線定理可$|OP|=\frac{1}{2}|Q{F}_{2}|$，再利用橢圓的定義可得|PF₁|，再利用勾股定理與離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，
∴切點P是線段QF₁的中點，
又|F₁O|=|OF₂|，
∴$|OP|=\frac{1}{2}|Q{F}_{2}|$=$\frac{a-b}{2}$，
∴|QF₂|=a-b，
∴|QF₁|=2a-|QF₂|=a+b，
∴|PF₁|=$\frac{a+b}{2}$．
在Rt△OPF₁中，
由勾股定理可得：${c}^{2}=（\frac{a-b}{2}）^{2}+（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
化為2c²=a²+b²=2a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，解得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、圓的切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．