Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3（a+1）x+b．（a≠0）
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+3x的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解方程組求出a，b的值；
（Ⅱ）討論a＞0，a＜0，分別令g′（x）＞0，g′（x）＜0，解不等式，求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3（a+1），
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴f′（2）=0且f（2）=8，即12-3（a+1）=0，且8-6（a+1）+b=8，
解得a=3，b=24；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+3x=x³-3ax+b，
g′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當(dāng)a＜0時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
此時函數(shù)g（x）沒有極值點；
當(dāng)a＞0時，由g′（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
當(dāng)x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴此時x=-$\sqrt{a}$是g（x）的極大值點，且極大值為b+2a$\sqrt{a}$；
x=$\sqrt{a}$是g（x）的極小值點，且極小值為b-2a$\sqrt{a}$．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．