Question

已知向量

a

=（cosx，1），

b

=（1，sinx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，然后將所得圖象的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）把向量

a

=（cosx，1），

b

=（1，sinx）代入f（x）=

a

•

b

，整理后化為y=Asin（ωx+φ）的形式，則最小正周期和最大值可求；
（2）把x換為x-

π

4

，然后直接把x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼?span id="qbkauir" class="MathJye">

1

2

得g（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosx，1），

b

=（1，sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=cosx+sinx=

2

(

2

2

cosx+

2

2

sinx)=

2

sin(x+

π

4

)，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π． 
當(dāng)x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=2kπ+

π

4

，k∈Z時，函數(shù)f（x）取得最大值

2

．
（2）先向右平移

π

4

個單位，得y=

2

sin(x-

π

4

+

π

4

)=

2

sinx，
再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，得y=

2

sin

1

2

x，
∴g（x）=

2

sin

1

2

x．

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了三角函數(shù)的平移，三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減，是基礎(chǔ)題．