Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\\{k-\frac{k}{x}，x≥1}\end{array}\right.$．
（1）是否存在實數(shù)a，b（1≤a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，如果存在，并求出a，b的值（用k表示）；如果不存在，說明理由．
（2）若存在實數(shù)a，b（0＜a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]，求m的取值范圍（用k表示）．

Answer 1

分析 （1）由1≤a＜b可知f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，從而分k＜0與k＞0討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化簡求出a，b的值；
（2）由題意可得需分0＜a＜b＜1，0＜a＜1≤b，0＜a≤1＜b，1＜a＜b四種情況討論，0＜a＜b＜1時得$\frac{1}{a}$-1=bm，$\frac{1}$-1=am；可知不可能成立；0＜a＜1≤b或0＜a≤1＜b，則0在f（x）的值域內(nèi)，故也不可能；若1＜a＜b；由（1）知，k＞0，f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，從而求m的取值范圍．

解答 解：（1）∵1≤a＜b，
∴f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，
若k＜0，則f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)減函數(shù)，
故k-$\frac{k}$=k（1-$\frac{1}$）=a，
∵1≤a＜b，∴k＞0，故矛盾；
若k＞0，則f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，
k-$\frac{k}{a}$=a，k-$\frac{k}$=b；
則a，b是方程k-$\frac{k}{x}$=x的兩個不同的根，
故x²-kx+k=0，
故△=k²-4k＞0，
故k＞4；
且對稱軸x=$\frac{k}{2}$＞2，
故只需使1-k+k=1＞0，
故a=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}-4k}}{2}$，b=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}-4k}}{2}$（k＞4）；
綜上所述，a=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}-4k}}{2}$，b=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}-4k}}{2}$（k＞4）．
（2）若0＜a＜b＜1，則$\frac{1}{a}$-1=bm，$\frac{1}$-1=am；
故$\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}-1}$=$\frac{a}$，
化簡得，$\frac{1-a}{1-b}$=1，不可能成立；
若0＜a＜1≤b，則0在f（x）的值域內(nèi)，故不可能；
若0＜a≤1＜b，則0在f（x）的值域內(nèi)，故不可能；
若1＜a＜b；
由（1）知，k＞0，f（x）=k-$\frac{k}{x}$在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，
k-$\frac{k}{a}$=ma，k-$\frac{k}$=mb；
則a，b是方程k-$\frac{k}{x}$=mx的兩個不同的根，
故mx²-kx+k=0，
故△=k²-4mk＞0，
故m＜$\frac{k}{4}$；
且對稱軸x=$\frac{k}{2m}$＞2，且m•1-k+k=m＞0，
故成立；
m的取值范圍為（0，$\frac{k}{4}$）．

點評 本題考查了分斷函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的值域的求法等，屬于難題．