Question

4．已知復(fù)數(shù)z₁=$\frac{1}{a+2}$+（a²-1）i，z₂=2+2（a+1）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若復(fù)數(shù)z₁-z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若虛數(shù)z₁是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x²-4x+m=0的根，求實(shí)數(shù)m值．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限得到實(shí)部大于0，虛部大于0，解不等式組即可；
（Ⅱ）利用z₁是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x²-4x+m=0的根，得到另一個(gè)根是復(fù)數(shù)z₁的共軛復(fù)數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a和m．

解答 解：（Ⅰ由已知得到z₁-z₂=$\frac{1}{a+2}$-2+（a²-2a-3）i，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}-2＞0}\\{{a}^{2}-2a-3＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜-\frac{3}{2}}\\{a＞3或a＜-1}\end{array}\right.$，所以$-2＜a＜-\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）因?yàn)樘摂?shù)z₁是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x²-4x+m=0的根，所以$\overline{z}$₁是方程的另一個(gè)根，所以${z}_{1}+\overline{{z}_{1}}=\frac{2}{a+2}$=1，所以a=0，
所以${z}_{1}=\frac{1}{2}-i$，$\overline{{z}_{1}}=\frac{1}{2}+i$，
所以${z}_{1}•\overline{{z}_{1}}=\frac{m}{4}=\frac{5}{4}$，所以m=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義以及實(shí)系數(shù)的一元二次方程由虛數(shù)根時(shí)，根互為共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)用．