Question

19．已知直線y=kx+1與圓x²+y²-kx-my-5=0交于M，N兩點，且M，N關(guān)于直線x+y=0對稱，若P（a，b）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{kx-my-3≤0}\\{kx-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$上的任意一點，則$\frac{b+1}{a+1}$的最大值是4．

Answer 1

分析 先求出m，k，再利用區(qū)域，求出$\frac{b+1}{a+1}$的最大值．

解答 解：由題意可知，直線x+y=0過圓心，且與直線y=kx+1垂直，
∴k=1，
圓x²+y²-kx-my-5=0的圓心坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，$\frac{m}{2}$）在直線x+y=0上，所以m=-1，
平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{kx-my-3≤0}\\{kx-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$為$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，
$\frac{b+1}{a+1}$表示區(qū)域內(nèi)的點（a，b），與（-1，-1）連線的斜率，由圖形可得（0，3）處取得最大值4，
故答案為：4

點評 本題考查對稱知識，圓的一般方程，考查線性規(guī)劃知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題．