Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點．
（Ⅰ）求證：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）若PA=AB=2，求PC與面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)幾何性質(zhì)得出DE⊥AB，DE⊥AP，運用定理得出DE⊥面PAB，借助面面垂直的判定即可得證．
（II）得證CF⊥面PAD，判斷出∠CPF為PA與面PAD所成角，運用三角形Rt△CAP求解即可．

解答 （Ⅰ）證明∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△ABD為正三角形，
E是AB的中點，DE⊥AB，
PA⊥面ABCD，DE?面ABCD，
∴DE⊥AP，
∴DE⊥面PAB，
∵DE?面PDE，
∴面PED⊥面PAB，
（II）在面ABCD內(nèi)，過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，連接PF，
∵PA⊥面ABCD，CF?面ABCD，
∴PA⊥CF，
又CF⊥面PAD，
∴∠CPF為PA與面PAD所成角，
在Rt△CFD中，∠CDF=60°，
∴CF=$\sqrt{3}$，
在Rt△CAP中AC=2$\sqrt{3}$，PA=2，
∴PC=4，
∴sin∠CPF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了直線平面的垂直問題，直線與平面所成的角的求解，關(guān)鍵是確定垂線，找出平面角，轉(zhuǎn)化到三角形求解．