Question

3．如圖，在棱長都相等的四面體ABCD中，點E是棱AD的中點．
（1）設側面ABC與底面BCD所成角為α，求tanα．
（2）設CE與底面BCD所成角為β，求cosβ．
（3）在直線BC上是否存在著點F，使直線AF與CE所成角為90°，若存在，試確定F點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，四面體ABCD為正四面體，設△BCD的中心為O，從而OA⊥底面BCD，過O作FG∥BC，連接DO并延長交BC于H，從而可以說明OH，OG，OA三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)已知條件可求出圖形上一些點的坐標．連接AH，可以說明∠AHO為側面ABC與底面BCD所成角為α，并且可求出OA，OH，從而求得tanα；
（2）先說明OA為平面BCD的法向量，從而根據(jù)sin$β=|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{CE}＞|=\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CE}|}$求出sinβ，從而求得cosβ；
（3）先假設存在點F，使直線AF與CE所成角為90°，可以設F（$\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，0$），而若使直線AF與CE所成角為90°，從而AF⊥CE，從而根據(jù)$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=0$求出y₀，從而確定F點的位置．

解答 解：（1）四面體ABCD的棱長都相等；
∴該四面體為正四面體；
∴A在底面BCD的投影為底面BCD的中心；設△BCD的中心為O，過O作BC的平行線，分別交BD，CD于F，G，連接DO并延長，交BC于H，則：H為BC中點；
∴OG⊥BC，OG⊥OE；
連接AO，則AO⊥底面BCD；
∴OH，OG，OA三直線兩兩垂直，∴分別以這三條直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設該正四面體棱長為2，則：
A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，0$），C（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1，0$），D（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0，0$），H（$\frac{\sqrt{3}}{3}，0，0$），E（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{6}}{3}$）；
連接AH，顯然∠AHD為側面ABC與底面BCD所成二面角的平面角；
且$OH=\frac{\sqrt{3}}{3}，OA=\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
∴$tanα=\frac{OA}{OH}=2\sqrt{2}$；
（2）顯然$\overrightarrow{OA}=（0，0，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$為底面BCD的法向量；
$\overrightarrow{CE}=（-\frac{2\sqrt{3}}{3}，-1，\frac{\sqrt{6}}{3}）$；
∴$sinβ=|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{CE}＞|$=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴$cosβ=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
（3）假設在直線BC上存在點F，使直線AF與CE所成角為90°，設F（$\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，0$），則：
$\overrightarrow{AF}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，{y}_{0}，-\frac{2\sqrt{6}}{3}）$；
直線AF與CE所成角為90°，即AF⊥CE；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=-2-{y}_{0}-4=0$；
∴y₀=-6；
∴存在點F，使直線AF與CE所成角為90°，并且F點在CB延長線上，且FB=5．

點評 考查正四面體的定義，等邊三角形的中心也是重心，重心的性質：重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍，以及通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面角，異面直線的垂直等問題的方法，能確定空間點的坐標，二面角的平面角的定義，平面法向量的概念，直線與平面所成角和直線和平面法向量所成角的關系，三角函數(shù)的定義，向量垂直的充要條件．