Question

4．已知一個(gè)正四面體的展開圖組成的圖形的外接圓的半徑為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求該正四面體的體積．

Answer 1

分析 設(shè)正四面體VABC的邊長(zhǎng)為a，可得展開圖為邊長(zhǎng)為2a的正三角形，由題意和正弦定理可得a=2，進(jìn)而由三角形的知識(shí)可得四面體的高和底面積，由棱錐的體積公式可得．

解答 解：設(shè)正四面體VABC的邊長(zhǎng)為a，則正四面體的展開圖為邊長(zhǎng)為2a的正三角形．
由正弦定理可得$\frac{2a}{sin\frac{π}{3}}$=2r=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（r為正三角形的外接圓的半徑），解得a=2．
設(shè)底面ABC的中心為O，則高h(yuǎn)=VO=$\sqrt{V{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又底面三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴正四面體的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的體積，涉及多面體的展開圖，求出正四面體的棱長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．