Question

10．已知圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，點N（$\sqrt{3}$，0），點P是圓上任意一點，線段NP的垂直平分線MP于點Q，設動點Q的軌跡為C
（Ⅰ）求C的方程
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與軌跡C交于G，H兩點，O為坐標原點，若△GOH的重心恰好在圓x²+y²=$\frac{4}{9}$上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖，通過|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知點Q的軌跡是以M、N為焦點，長軸長等于4的橢圓，即得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），聯立直線l與橢圓C的方程，由韋達定理得x₁+x₂，從而可得y₁+y₂，及△GOH的重心的坐標并將其代入圓的方程，通過計算得${m}^{2}=\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{1+16{k}^{2}}$＜1+4k²（k≠0），利用不等式即得實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）如圖，∵|QP|=|QN|，∴|MQ|+|QN|=|MP|=4，
故點Q的軌跡是以M、N為焦點，長軸長等于4的橢圓，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設點G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
方程聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韋達定理，得x₁+x₂=$-\frac{8mk}{1+4{k}^{2}}$，所以y₁+y₂=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
所以△GOH的重心的坐標為（$\frac{-8mk}{3（1+4{k}^{2}）}$，$\frac{2m}{3（1+4{k}^{2}）}$），
∴[$\frac{-8mk}{3（1+4{k}^{2}）}$]²+[$\frac{2m}{3（1+4{k}^{2}）}$]²=$\frac{4}{9}$，
整理得：${m}^{2}=\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{1+16{k}^{2}}$   ①
依題意△=（8mk）²-16（m²-1）（1+4k²）=16（1+4k²-m²）＞0，得m²＜1+4k²   ②
由①、②易得k≠0，
設t=1+16k² （t＞1），則$1+4{k}^{2}=\frac{t+3}{4}$，
所以m²=$\frac{t+\frac{9}{t}+6}{16}$$≥\frac{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}+6}{16}$=$\frac{3}{4}$，當且僅當t=3取等號，
所以實數m的取值范圍是$（-∞，-\frac{\sqrt{3}}{2}]∪[\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查韋達定理、基本不等式、直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，注意積累解題方法，屬于中檔題．