Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）在（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）當x＞0時，求證：f（x）-1≥a(1-

1

x

)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求導后求得f′（e）的值，再求出f（e）的值，由直線方程的點斜式求得切線方程；
（Ⅱ）構造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-1-a(1-

1

x

)，利用導數(shù)求得該函數(shù)的最小值，由最小值大于等于0證得答案．

解答： （Ⅰ）解：當a=2時，f（x）=2lnx+1，
f′(x)=

2

x

，f（e）=3，k=f′(e)=

2

e

．
∴函數(shù)f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y-3=

2

e

(x-e)，
即2x-ey+e=0；
（Ⅱ）證明：令g(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)(x＞0)，
則g′(x)=

a

x

-

a

x2

=

a(x-1)

x2

，由g′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調遞減，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調遞增．
∴g（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，
因此g（x）≥g（1）=0，即f(x)-1≥a(1-

1

x

)．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，訓練了函數(shù)構造法，是中檔題．