Question

13．若定義集合A的獨(dú)立和如下：對于非空子集A，將A中每個(gè)元素k，都乘以（-1）^k，再求和．如A={1，3，6}，可求得其獨(dú)立和為（-1）•1+（-3）³•3+（-1）⁶•6=2已知集合M={x|1≤x≤10，x∈N}，則對M的所有非空子集的獨(dú)立和的總和等于2560．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將M中所有非空子集分類考慮完備，將所有非空子集中的含有1的總個(gè)數(shù)確定好，從而可求其和，同理求得含有2、3…10的部分的和，問題即可解決．

解答 解：∵M(jìn)={x|1≤x≤10，x∈N}={1，2，…10}，
∴M中所有非空子集中含有1的有10類：
①單元素集合只有{1}含有1，即1出現(xiàn)了C₉⁰次；
②雙元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，10}，即1出現(xiàn)了C₉¹次；
③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，9，10}即1出現(xiàn)了C₉²次；
…
⑩含有十個(gè)元素{1，2，…}1出現(xiàn)了C₉⁹次；
∴1共出現(xiàn)C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹=2⁹；
同理2，3，4，…10各出現(xiàn)2⁹次，
∴M的所有非空子集中，這些和的總和是 2⁹•[（-1）¹+2×（-1）²+…+10×（-1）¹⁰]=2⁹×5=2560．
故答案為：2560．

點(diǎn)評 本題考查與集合有關(guān)的新定義，難點(diǎn)在于將M中所有非空子集合理分類計(jì)算，用組合數(shù)性質(zhì)解決，考查學(xué)生綜合分析與推理的能力，屬于難題．