Question

1．棱長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 棱長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$的正四面體內(nèi)切一球，那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切，即球心到四個(gè)面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個(gè)小球，求出這球的最大半徑．

解答 解：由題意，此時(shí)的球與正四面體相切，
由于棱長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$的正四面體，故四個(gè)面的面積都是$\frac{\sqrt{3}}{4}×（4\sqrt{3}）^{2}$=12$\sqrt{3}$
又頂點(diǎn)A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是4
由此知頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
此正四面體的體積是$\frac{1}{3}×12\sqrt{3}×4\sqrt{2}$=16$\sqrt{6}$，
又此正四面體的體積是$\frac{1}{3}$×r×12$\sqrt{3}$×4=16$\sqrt{3}$r，故有r=$\sqrt{2}$．
上面的三棱錐的高為2$\sqrt{2}$，原正四面體的高為4$\sqrt{2}$，
所以空隙處放入一個(gè)小球，則這球的最大半徑為a，$\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積和表面積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證．相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．