Question

12．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，-3）、B（4，-1）．
（1）若P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求x值；
（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值；
（3）設(shè)M、N分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）和（0，π），使四邊形ABMV周長(zhǎng)最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到B（4，-1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），進(jìn)而可得直線AB'的解析式，進(jìn)而可得答案；
（2）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，且延長(zhǎng)AE，取A'E=AE．做點(diǎn)F（1，-1），連接A'F．利用兩點(diǎn)間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短等于A'F+CD+AB，從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值．
（3）根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N，當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{5}{3}$時(shí)成立．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)B（4，-1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B'，其坐標(biāo)為（4，1），
設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b，
把A（2，-3），B'（4，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-7}\end{array}\right.$，∴y=2x-7，
令y=0，得x=$\frac{7}{2}$，即當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，x=$\frac{7}{2}$．
（2）過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，且延長(zhǎng)AE，取A'E=AE．
做點(diǎn)F（1，-1），連接A'F．那么A'（2，3）．
直線A'F的解析式為y-1=$\frac{3-（-1）}{2-1}$•（x-1），即y=4x-5，
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線A'F上，
∴0=4a-5，解得a=$\frac{5}{4}$．
∴當(dāng)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短時(shí)，a=$\frac{5}{4}$．
（3）存在使四邊形ABMN周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、N，
作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，
∴A′（-2，-3），B′（4，1），
∴直線A′B′的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，0），N（0，-$\frac{5}{3}$）．
∴m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查當(dāng)三角形的周長(zhǎng)最短時(shí)，未知數(shù)的值的求法，考查當(dāng)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短時(shí)，未知數(shù)的值的求法，考查使四邊形ABMV周長(zhǎng)最短時(shí)，未知數(shù)的值的是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)稱知識(shí)的合理運(yùn)用．