Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
（3）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率f′（1），即可得到切線的方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再對a分類討論即可得出；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+x，則g（x）=lnx+

1

2

ax2-ax，由于對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．利用研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和對a分類討論即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+

1

2

x2-2x，f′（x）=

1

x

+x-2．
∵f′（1）=0，f（1）=-

3

2

．
∴切線方程是y=-

3

2

．
（2）函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）的定義域是（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時，f′（x）=

1

x

+ax-(a+1)=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=1或x=

1

a

．
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-

1

2

a-1=-2，解得a=2；
當(dāng)1＜

1

a

＜e時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)，∴-lna-

1

2a

-1=-2，即lna+

1

2a

=1．
令h（a）=lna+

1

2a

，h′(a)=

1

a

-

1

2a2

=

2a-1

2a2

=0，可得a∈(

1

e

，

1

2

)函數(shù)h（a）單調(diào)遞減，a∈(

1

2

，1)函數(shù)h（a）單調(diào)遞增．
而h(

1

e

)=-1+

e

2

＜1，不合題意．
當(dāng)

1

a

≥e時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+

1

2

ae2-（a+1）e=-2，解得a=

6-2e

2e-e2

＜0，不合題意．
綜上可得：a=2．
（3）設(shè)g（x）=f（x）+x，則g（x）=lnx+

1

2

ax2-ax，
∵對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，
∴只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．
而g′（x）=ax-a+

1

x

=

ax2-ax+1

x

．
當(dāng)a=0時，g′(x)=

1

x

＞0，此時g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要ax²-ax+1≥0，
則需要

a＞0 △=a2-4a≤0

，解得0＜a≤4．
綜上a的取值范圍是：0≤a≤4．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、二次函數(shù)與判別式的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分類討論的是幸福方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．