Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）若E，F(xiàn)分別為PC，BD中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：PA⊥CD；
（Ⅲ）若PA=PD=

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AD，求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC．由正方形性質(zhì)得AC與BD互相平分，由三角形中位線定理得EF∥PA．由此能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由線面垂直得CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．由此能證明PA⊥CD．
（Ⅲ）由勾股定理得PA⊥PD．再由PA⊥CD，得PA⊥平面PCD．由此能證明面PAB⊥平面PCD．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)AC．因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以AC與BD互相平分．
又因?yàn)镕是BD中點(diǎn)，所以F是AC中點(diǎn)．
在△PAC中，E是PC中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，
所以EF∥PA．
又因?yàn)镋F?平面PAD，PA?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．
又因?yàn)镻A?平面PAD，
所以CD⊥PA．故PA⊥CD．…（9分）
（Ⅲ）證明：在△PAD中，因?yàn)?span id="c0igqyt" class="MathJye">PA=PD=

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AD，
所以PA⊥PD．
由（Ⅱ）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，
所以PA⊥平面PCD．
又因?yàn)镻A?平面PAB，
所以面PAB⊥平面PCD．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．