Question

設(shè)命題p：方程2x²+x+a=0的兩個根x1 ，x₂滿足x₁＜1＜x₂；命題q：函數(shù)y=log₂（ax-1）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增．若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：方程2x²+x+a=0的兩個根x1 ，x₂滿足x₁＜1＜x₂，設(shè)f（x）=2x²+x+a=0，則f（1）=2+1+a＜0，解得a．命題q：函數(shù)y=log₂（ax-1）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，可得0＜a-1＜2a-1，解得a．由于命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命題p：方程2x²+x+a=0的兩個根x1 ，x₂滿足x₁＜1＜x₂，設(shè)f（x）=2x²+x+a=0，則f（1）=2+1+a＜0，解得a＜-3．
命題q：函數(shù)y=log₂（ax-1）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，∴0＜a-1＜2a-1，解得a＞1．
∵命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p與q必然一真一假．
∴

a＜-3 a≤1

或

a≥-3 a＞1

．
解得a＜-3或a＞1．
∴實數(shù)a的取值范圍為：a＜-3或a＞1．
故答案為：a＜-3或a＞1．

點評：本題考查了一元二次方程與實數(shù)根的關(guān)系、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．