Question

15．拋物線y²=x上有一動(dòng)點(diǎn)P，已知定點(diǎn)A（3，-1），拋物線的焦點(diǎn)為F，求|PA|+|PF|的最小值及取得最小值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，將點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它到其準(zhǔn)線的距離即可．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線x=-$\frac{1}{4}$上的射影為M，有拋物線的定義得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|=$\frac{13}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值$\frac{13}{4}$時(shí)（M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y₀=-1，設(shè)其橫坐標(biāo)為x₀，
∵P（x₀，-1）為拋物線y²=x上的點(diǎn)，
∴x₀=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，將點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為它到其準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．