Question

8．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長為2，離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點F與橢圓E的右焦點重合，若斜率為k的直線l過拋物線G的焦點F與橢圓E相交于A，B兩點，與拋物線G相交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓E及拋物線G的方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使得$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{λ}{{|{CD}|}}$為常數(shù)？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F（c，0），利用離心率，短軸長，列出關(guān)系式求解可得橢圓方程．拋物線方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5}+{y^2}=1\\ y=k（{x-2}）\end{array}\right.$，求解|AB|，由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（{x-2}）\end{array}\right.$求解|CD|，化簡$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{λ}{{|{CD}|}}$，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，設(shè)F（c，0），則得$\left\{\begin{array}{l}2b=2\\ \frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，…（1分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5}\\ b=1\\ c=2\end{array}\right.$． …（3分）
所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，…（4分）
由題意得$\frac{p}{2}=c$，所以p=4．
故拋物線G的方程為y²=8x． …（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由題意，直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5}+{y^2}=1\\ y=k（{x-2}）\end{array}\right.$消去y，整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，…（6分）${△_1}=400{k^4}-4（{20{k^2}-5}）（{1+5{k^2}}）=20（{{k^2}+1}）＞0$． …（7分）$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{△_1}}}{{1+5{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{5}（{{k^2}+1}）}}{{1+5{k^2}}}$． …（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（{x-2}）\end{array}\right.$消去y，整理得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，…（9分）
${△_2}={（{4{k^2}+8}）^2}-4{k^2}•4{k^2}=64（{{k^2}+1}）＞0$，
則${x_3}+{x_4}=\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}$，
由拋物線定義得$|{CD}|={x_3}+{x_4}+4=\frac{{8（{{k^2}+1}）}}{k^2}$，…（10分）
所以$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{λ}{{|{CD}|}}=\frac{{1+5{k^2}}}{{2\sqrt{5}（{{k^2}+1}）}}+\frac{{λ{k^2}}}{{8（{{k^2}+1}）}}=\frac{{（{20+\sqrt{5}λ}）{k^2}+4}}{{8\sqrt{5}（{{k^2}+1}）}}$，…（11分）
要使$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{λ}{{|{CD}|}}$為常數(shù)，則須有$20+\sqrt{5}λ=4$，
解得$λ=-\frac{{16\sqrt{5}}}{5}$． …（12分）
所以存在$λ=-\frac{{16\sqrt{5}}}{5}$，使$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{λ}{{|{CD}|}}$為常數(shù)． …（13分）

點評 本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．