Question

20．若單位向量$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$滿足$|2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_1}|$，則$\overrightarrow{e_1}$在$\overrightarrow{e_2}$方向上投影為-1．

Answer 1

分析 對(duì)$|2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}|$兩邊平方，并進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$的值，從而可求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$方向上的投影．

解答 解：∵$|2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}|$；
∴$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}={\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$；
即$4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}={\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$；
∴$4+4cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞+1=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=-1$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$方向上的投影為$|\overrightarrow{{e}_{1}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=-1$．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量投影的定義及計(jì)算公式．