Question

12．設(shè)一直角∠MON，試在ON，OM邊上及角內(nèi)各求一點(diǎn)A，B，C，使得BC+CA=l（定長(zhǎng)），且四邊形ACBO的面積最大．

Answer 1

分析 設(shè)OA=a，OB=b，BC=c，AC=d，則c+d=l，由勾股定理和余弦定理可得a²+b²=c²+d²-2cdcosC，則有四邊形ACBO的面積S=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$cdsinC，運(yùn)用基本不等式和正弦函數(shù)的最值，即可求得最大值，及A，B，C的位置．

解答 解：設(shè)OA=a，OB=b，BC=c，AC=d，
則c+d=l，
又a²+b²=c²+d²-2cdcosC，
則有四邊形ACBO的面積S=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$cdsinC，
由sinC≤1，cd≤$\frac{（c+d）^{2}}{4}$=$\frac{{l}^{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)C=90°，c=d=$\frac{1}{2}$l取得等號(hào)．
則有$\frac{1}{2}$cdsinC的最大值為$\frac{1}{8}$l²．
此時(shí)a²+b²=$\frac{1}{2}$l²，a²+b²≥2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab取得最大值，且為$\frac{1}{4}$l²．
則有四邊形ACBO的面積S的最大值為$\frac{1}{4}$l²．
此時(shí)四邊形ACBO為正方形，OA=OB=AC=BC=$\frac{1}{2}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的最值求法，主要考查基本不等式和正弦函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．