Question

4．在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$）．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求圓C的直角坐標系方程及直線l的斜率；
（2）記Ω表示圓C內部在直線l下方的區(qū)域，A是Ω內一點，求|OA|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），展開為${ρ}^{2}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可的直角坐標方程；由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t化為普通方程即可得出斜率k．
（2）由圖形可得|OF|≤|OA|≤2R．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{3}x-y}\\{y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\end{array}\right.$，解得F．可得|OF|，即可得出．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），展開為${ρ}^{2}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ$，
∴x²+y²=$\sqrt{3}x-y$．
由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+t}\\{y=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）可得：$y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得斜率k=$\sqrt{3}$．
（2）由圖形可得|OF|≤|OA|≤2R．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{3}x-y}\\{y+\frac{1}{2}=\sqrt{3}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\end{array}\right.$，解得F$（\frac{\sqrt{3}+1}{2}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}）$．
∴|OF|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$≤|OA|≤2．

點評 本題考查了直角坐標方程化為極坐標方程、直線參數(shù)方程的應用、兩點之間的距離公式，考查了數(shù)形結合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．