Question

17．如圖，圓O的直徑AD=2，動弦BC垂直于AD．設(shè)∠AOB=α，△ABC的面積為S．
（1）試建立S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)α為何值時，S取得最大值，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，當(dāng)$0＜α＜\frac{π}{2}$時，設(shè)BC∩AD=M，則BM=sinα，OM=cosα，可得S=$\frac{1}{2}BC•AM$=sinα（1-cosα）；同理可得：當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時，當(dāng)$\frac{π}{2}＜α＜π$時，S=sinα（1-cosα）．
（2）S′=cosα-（cos²α-sin²α）=-（2cosα+1）（cosα-1），分別解出S′＞0與S′＜0即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，當(dāng)$0＜α＜\frac{π}{2}$時，設(shè)BC∩AD=M，則BM=sinα，OM=cosα，
∴AM=1-cosα．
∴S=$\frac{1}{2}BC•AM$=$\frac{1}{2}×2sinα（1-cosα）$=sinα（1-cosα）；
同理可得：當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時，S=1；
當(dāng)$\frac{π}{2}＜α＜π$時，S=sinα（1-cosα）．
綜上可得：S=sinα（1-cosα）．α∈（0，π）．
（2）S′=cosα-（cos²α-sin²α）=-（2cosα+1）（cosα-1），
令S′=0，解得cosα=-$\frac{1}{2}$或1．
∵α∈（0，π），∴$α=\frac{2π}{3}$．
∴當(dāng)$0＜α＜\frac{2π}{3}$時，S′＞0，函數(shù)S單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{2π}{3}＜α＜π$時，S′＜0，函數(shù)S單調(diào)遞減．
∴當(dāng)$α=\frac{2π}{3}$時，S取得最大值，S=$sin\frac{2π}{3}（1-cos\frac{2π}{3}）$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的性質(zhì)、垂經(jīng)定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形的面積計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．