Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{5}{4}$n²+3+m，若數(shù)列的最小項(xiàng)為1，則m的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{4}$x²+3+m，（x≥1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：數(shù)列a_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{5}{4}$n²+3+m，令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{4}$x²+3+m，（x≥1）．f′（x）=x²-$\frac{5}{2}$x，
由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{5}{2}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜$\frac{5}{2}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴對于f（n）來說，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．
f（3）-f（2）=9-$\frac{45}{4}$-（$\frac{8}{3}$-5）＞0，
∴f（2）最小，∴$\frac{1}{3}$×8-5+3+m=1，
解得m=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．