Question

13．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的圖象經(jīng)過三點$（{0，\frac{1}{8}}），（{\frac{5}{12}，0}），（{\frac{11}{12}，0}）$，在區(qū)間$（{\frac{5}{12}，\frac{11}{12}}）$內(nèi)有唯一的最小值．
（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得函數(shù)的周期T，進而可得ω，代點可得ϕ和A，可得解析式；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解2πx+$\frac{π}{6}$=kπ可得函數(shù)的對稱中心．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)的周期T=2（$\frac{11}{12}$-$\frac{5}{12}$）=1，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2π，又由題意當x=$\frac{5}{12}$時，y=0，
∴Asin（2π×$\frac{5}{12}$+ϕ）=0即sin（$\frac{5π}{6}$+ϕ）=0
結合0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$可解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
再由題意當x=0時，y=$\frac{1}{8}$，
∴Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{8}$，∴A=$\frac{1}{4}$
∴$f（x）=\frac{1}{4}sin（{2πx+\frac{π}{6}}）$；
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得k-$\frac{1}{3}$≤x≤k+$\frac{1}{6}$
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k-$\frac{1}{3}$，k+$\frac{1}{6}$]（k∈Z）
當2πx+$\frac{π}{6}$=kπ時，f（x）=0，解得x=$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{12}$，
∴函數(shù)的對稱中心為$（{\frac{k}{2}-\frac{1}{12}，0}）（{k∈Z}）$

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式，涉及單調(diào)性和對稱性，屬中檔題．