Question

5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角B為銳角，且8sinAsinC=sin²B，則$\frac{a+c}$的取值范圍為（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：8ac=b²，解得：$\frac{ac}{^{2}}$=$\frac{1}{8}$，結(jié)合余弦定理可得：（a+c）²=10ac+2accosB，從而可求$\frac{a+c}$=$\sqrt{\frac{5+cosB}{4}}$，由cosB∈（0，1），即可解得$\frac{a+c}$的取值范圍．

解答 解：∵角B為銳角，且8sinAsinC=sin²B，
∴由正弦定理可得：8ac=b²，解得：$\frac{ac}{^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
又∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-2accosB=8ac，可得：（a+c）²=10ac+2accosB，
∴$\frac{a+c}$=$\sqrt{\frac{（a+c）^{2}}{^{2}}}$=$\sqrt{\frac{10ac+2accosB}{^{2}}}$=$\sqrt{\frac{ac}{^{2}}×（10+2cosB）}$=$\sqrt{\frac{5+cosB}{4}}$，
∵cosB∈（0，1），$\frac{5+cosB}{4}$∈（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{a+c}$∈（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．