Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且2a_n+1、S_n、-a₂成等差數(shù)列，其中（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n及數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得2S_n=2a_n+1-a₂，所以2S_n-2S_n-1=2a_n+1-2a_n，a_n+1=2a_n，由此能導(dǎo)出an=2n-1．
（Ⅱ）b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

=

1

2

(

1

2n-18

-

1

2n+1-18

)，由此能求出數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)．

解答： （本題滿(mǎn)分15分）
解：（Ⅰ） 由2a_n+1、S_n、-a₂成等差數(shù)列，知2S_n=2a_n+1-a₂，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=2a_n-a₂，
所以2S_n-2S_n-1=2a_n+1-2a_n，a_n+1=2a_n，…（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，由2a₁=2a₂-a₂得a₂=2a₁，…（5分）
綜上知，對(duì)任何n∈N^*，都有a_n+1=2a_n，又a₁=1，
所以a_n≠0，

an+1

an

=2．…（6分）
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）b_n=

an

(an+1-18)(an+2-18)

=

2n-1

(2n-18)(2n+1-18)

=

1

2

(

1

2n-18

-

1

2n+1-18

)，…（10分）
所以T_n=

1

2

（

1

2-18

-

1

22-18

+

1

22-18

-

1

23-18

+…+

1

2n-18

-

1

2n+1-18

）
=

1

2

(

1

2-18

-

1

2n+1-18

)=

1

2

(-

1

16

-

1

2n+1-18

)，…（12分）
T_n+1-T_n=

1

2

(

1

2n+1-18

-

1

2n+2-18

)=

2n-1

(2n+1-9)(2n+1-18)

，
當(dāng)n≤2時(shí)，T_n+1＞T_n，即0＜T 1 ＜T₂＜T₃，
當(dāng)n≥4時(shí)，也有T_n+1＞T_n，但T_n＜0；
當(dāng)n=3時(shí)，T_n+1-T_n＜0，T_n+1＜T_n，
即T₄＜T₃．
所以數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)是T3=

7

32

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和及前n項(xiàng)和的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．