Question

14．對數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，規(guī)定{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（n，k∈N^*，k≥2）．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n²+n
①△a_n=2n+2；
②數(shù)列{△³a_n}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
③數(shù)列{△a_n}的前n項之和為a_n=n²+n；
④{△²a_n}的前2015項之和為4030．
則以下結(jié)論正確的命題個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)△a_n=a_n+1-a_n 計算可得①正確．根據(jù)△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，得{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，故對數(shù)列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故②不正確．
計算數(shù)列{△a_n}的前n項之和的值，可得③不正確． 根據(jù){△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，求得{△²a_n}的前2015項之和的值，可得④正確．

解答 解：由于△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（n，k∈N^*，k≥2）．a(chǎn)_n=n²+n
故△a_n=a_n+1-a_n =（n+1）²+（n+1）-[n²+n]=2n+2，故①正確．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，故對數(shù)列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故數(shù)列{△³a_n}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，故②不正確．
數(shù)列{△a_n}的前n項之和為△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-[1+1]=n²+3n，故③不正確．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，{△²a_n}的前2015項之和為 2×2015=4030，故④正確．
故選：C．

點評 本小題以新定義為載體主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義的基礎(chǔ)知識，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法，還考查了把新的定義轉(zhuǎn)化為利用所學(xué)知識進(jìn)行求解的能力．