Question

F是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若2

AF

=

FB

，則C的離心率是（　�。�

• A、

  2 3

  3

• B、

  14

  3

• C、

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)一漸近線OA的方程為y=

b

a

x，設(shè)A（m，

b

a

m），B（n，-

bn

a

），由 2

AF

=

FB

，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由FA⊥OA，斜率之積等于-1，求出a²=3b²，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

進(jìn)行運(yùn)算．

解答： 解：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=

b

a

x，
則另一漸近線OB的方程為 y=-

b

a

x，
設(shè)A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），
∵2

AF

=

FB

，
∴2（c-m，-

bm

a

）=（n-c，-

bn

a

），
∴2（c-m）=n-c，-

2bm

a

=-

bn

a

，
∴m=

3

4

c，n=

3c

2

，
∴A（

3c

4

，

3bc

4a

 ）．
由FA⊥OA可得，斜率之積等于-1，
即

3bc 4a -0

3c 4 -c

•

b

a

=-1，
∴a²=3b²，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2 3

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．