Question

20．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overline{x}$	$\overrightarrow{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$ （xi-$\overrightarrow{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與$y=c+d\sqrt{x}$哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（2）的結(jié)果要求：年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n）其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{u_i}-\bar u}）（{{v_i}-\bar v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{u_i}-\bar u}）}^2}}}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)散點(diǎn)圖的意義，即可判斷出結(jié)論；
（2）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，
根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（3）求出預(yù)報(bào)值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，
即可求出年利潤(rùn)最大值對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，
$y=c+d\sqrt{x}$更適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；
（2）令$w=\sqrt{x}$，y=c+dw，
由表可知：$d=\frac{108.8}{1.6}=68$，
$c=\bar y-d\overline{w}=100.6$；
所以y關(guān)于x的回歸方程為：
$y=100.6+68\sqrt{x}$；
（3）由（2）可知：
年利潤(rùn)z=0.2y-x
=$0.2（{100.6+68\sqrt{x}}）-x$
=$-x+13.6\sqrt{x}+20.12$；
所以當(dāng)$\sqrt{x}=\frac{13.6}{2}=6.8$，
即x=46.24時(shí)，年利潤(rùn)z最大．
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．