Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），變形a_n+1=3（a_n-1+1），即可證明；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，即可得出．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列．
（2）由（1）知an+1=3n，∴an=3n-1，
∴b_n=log₃（a_n+1）=n．
∴a_nb_n=n•（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n，
設(shè)T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n×3ⁿ⁺¹=

3n+1-3

2

-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

3-3n

4

+

n

2

×3n+1．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．