Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)；
（2）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x-y+a=0的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)，通過OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程，通過解方程確定出a的值．

解答 解：（1）圓x²+y²+Dx+Ey+F=0，x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x² -6x+1=0與x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=-6，F(xiàn)=1，E=-2，
即圓方程為x²+y²-6x-2y+1=0；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x-2y+1=0}\\{x-y+a=0}\end{array}\right.$
消去y，得到方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，由已知可得判別式△=56-16a-4a²＞0．
在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-2a+1}{2}$…①
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0…②
由①②可得a=-1，滿足△=56-16a-4a²＞0．故a=-1．

點(diǎn)評 本題考查垂直問題的解決思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．