Question

12．已知兩點(diǎn)M（1，1），N（4，-2）在⊙O上，圓心O在直線2x+y=0上．
（1）求⊙O的方程；
（2）若點(diǎn)P（異于M，N）在⊙O上，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)⊙O的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F＞0則圓心O的坐標(biāo)為$（{-\frac{D}{2}，\;-\frac{E}{2}}）$ 
依題意$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{1^2}+D+E+F=0\\{4^2}+{（{-2}）^2}+4D-2E+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-\frac{E}{2}=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=4\\ F=-4\end{array}\right.$，即可．
（2）$|MN|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=3\sqrt{2}$
圓O的圓心（1，-2）到直線MN的距離為$\frac{|1-2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
點(diǎn)P到直線MN的最大距離$3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即可求得△PMN面積的最大值為$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×（{3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）=\frac{9}{2}（{\sqrt{2}+1}）$．

解答 解：（1）設(shè)⊙O的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F＞0則圓心O的坐標(biāo)為$（{-\frac{D}{2}，\;-\frac{E}{2}}）$ …（2分）
依題意$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{1^2}+D+E+F=0\\{4^2}+{（{-2}）^2}+4D-2E+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-\frac{E}{2}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}D+E+F+2=0\\ 4D-2E+F+20=0\\ 2D+E=0\end{array}\right.$…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=4\\ F=-4\end{array}\right.$，滿足D²+E²-4F＞0…（5分）
∴所求⊙O的方程為x²+y²-2x+4y-4=0…（6分）
（2）$|MN|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=3\sqrt{2}$…（7分）
直線MN方程為x+y-2=0…（8分）
圓O的圓心坐標(biāo)為（1，-2），半徑為3…（9分）
其到直線MN的距離為$\frac{|1-2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
點(diǎn)P到直線MN的最大距離$3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴△PMN面積的最大值為$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×（{3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）=\frac{9}{2}（{\sqrt{2}+1}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．