Question

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都滿足f（x+2）=f（x）+2，且當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=

2x

|x|+1

；又 g（x）=x²-（4k-2）x+k²+558（k為常數(shù)，且k∈Z）．
（1）作出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，并求x∈[1，3]時f（x）的解析式和值域；
（2）對于實數(shù)集合M，若{y|y=f（x），x∈M}={y|2k-1≤y≤2k+1}，試求出集合M（用含k的代數(shù)式表示）；
（3）若對任意 x₁∈[2k-1，2k+1]，總存在x₂∈[2k-1，2k+1]，使得 g（x₂）≥f（x₁）成立，試求出滿足條件的所有k值的和．

Answer 1

考點：函數(shù)圖象的作法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)值得求法求出值域，
（2）先求出f（x）的值域為[2k-1，2k+1]，再根據(jù)f（x）在R上單調(diào)遞增，問題得以解決，
（3）由題意，g（x）_max≥f（x）_max，得到不等式-3k²+4k+561≥2k+1，求得k的范圍，繼而求出k的值得和

解答： 解：（1）函數(shù)圖象如圖所示

當(dāng)x∈[1，3]時，x-2x∈[-1，1]，
∵f（x+2）=f（x）+2=

2(x-2)

|x-2|+1

+2；
因為此時f（x-2）的值域為[-1，1]，所以f（x）的值域為[1，3]；
（2）①當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]時，x-2k∈[-1，1]，f（x）=f（x-2k）+2k，（*）
因為此時f（x-2k）的值域為[-1，1]，所以f（x）的值域為[2k-1，2k+1]．
②因為y=f（x），x∈[2k-1，2k+1]的圖象由y=f（x），（x∈[-1，1]平移得到，
所以y=f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]上仍然單調(diào)遞增，
又由（*）式，對一切n∈Z均有f（n）=n，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，
綜合 ①②，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]時，f（x）∈[2k-1，2k+1]時，
所以，集合M=[2k-1，2k+1]．
（3）由題意，g（x）_max≥f（x）_max，x∈[2k-1，2k+1]時，f（x）_max=2k+1，
g（x）在[2k-1，2k+1]上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（2k+1）=-3k²+4k+561，
所以-3k²+4k+561≥2k+1，解得-

40

3

≤k≤14，
因為k∈Z，滿足條件的所有k值的和為（-13）+（-12）+…+14=

-13+14

2

×28=14．

點評：本題主要考查了函數(shù)圖象的畫法，函數(shù)的解析式值域的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，屬于中檔題