Question

8．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點(diǎn)M在線段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD，三棱錐M-BCQ的體積為$\frac{2}{3}$，求點(diǎn)Q到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，利用三棱錐M-BCQ的體積為$\frac{2}{3}$，求出AB，利用等體積求點(diǎn)Q到平面PAB的距離．

解答 （I）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
設(shè)AB=2a，則由題意，PQ=QB=$\sqrt{3}$a，
∵PM=$\frac{1}{3}$PC，∴M到平面QBC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵BC⊥BQ，三棱錐M-BCQ的體積為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a×\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{2}{3}$，
∴a=1
設(shè)點(diǎn)Q到平面PAB的距離為h，則
△PAB中，PA=AB=2，PB=$\sqrt{6}$，∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
由等體積可V_P-QBA=V_Q-PAB得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求點(diǎn)Q到平面PAB的距離，著重考查了平面與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．