Question

3．F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知AF₁⊥BF₁，∠ABF₁=30°，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)|AF₁|=m．利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義可得m=$\frac{2a（3-\sqrt{3}）}{3}$．在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+（2a-m）²-2m（2a-m）cos60°，
化簡(jiǎn)利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)|AF₁|=m．
∵AF₁⊥BF₁，∠ABF₁=30°，
∴|AB|=2m，|AF₂|=2a-m，
|BF₁|=$\sqrt{3}$m，|BF₂|=2m-（2a-m）=3m-2a，
∴$\sqrt{3}$m+3m-2a=2a，
解得m=$\frac{4a}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{2a（3-\sqrt{3}）}{3}$．
∴3m²=$（16-8\sqrt{3}）{a}^{2}$，
6am=$（12-4\sqrt{3}）{a}^{2}$．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+（2a-m）²-2m（2a-m）cos60°，
化為4c²-4a²+6am-3m²=0，
∴4c²-4a²+$（12-4\sqrt{3}）{a}^{2}$-$（16-8\sqrt{3}）{a}^{2}$=0，
化為${e}^{2}=2-\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．